Question

如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．
（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；
（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）方法一：
连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M．
∵点O是正方形ABCD外接圆圆心，
∴OA=OB．
∵正方形ABCD，
∴OM=

1

2

AB，
∴S_△ABO=

1

4

S_{正方形ABCD}．（1分）
∵∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45度．（2分）
又∵∠A'OC'=90°，∠AOF+∠A'OB=∠A'OB+∠BOE=90°，
∴∠AOF=∠BOE．
∴△AOF≌△BOE．（3分）
∴S_△AOF=S_△BOE．
∴重叠部分面积=S_△BOF+S_△BOE=S_△BOF+S_△AOF=S_△ABO=

1

4

S_{正方形ABCD}．
∴S_阴影=

3

4

S_{正方形ABCD}．
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．（4分）
方法二：过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M，N．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∴OM=ON=

1

2

AB．（1分）
∵∠ABC=90°，
∴四边形MBNO为矩形．
∵OM=ON，
∴四边形MBNO为正方形．
∴S_{正方形MBNO}=

1

4

S_{正方形ABCD}．（2分）
∵∠FOE=90°，
∴∠FOM+∠MOE=∠MOE+∠EON=90度．
∴∠FOM=∠EON．
∴△FOM≌△EON．（3分）
∴S_△FOM=S_△EON．
∴重叠部分面积=S_△FOM+S_{四边形MBEO}=S_{四边形MBEO}+S_△EON=S_{正方形MBNO}=

1

4

S_{正方形ABCD}．
∴S_阴影=

3

4

S_{正方形ABCD}．
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．（4分）

（2）1：2；（5分）

（3）n边形的每一个内角度数=

(n-2)180

n

，阴影部分对应的中心角=360°-

(n-2)180

n

=

(n+2)180

n

，
两个相同正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比=

(n-2)180

n

：

(n+2)180

n

=（n-2）：（n+2）．
但当边数超过六以后，正多边形的边长小于半径，因而结论不适合推广．（7分）