Question

在平面直角坐标中，O是坐标原点，点P是双曲线y=

k

x

与直线y=kx（k≥1）的交点，连接OP，当点P的坐标为（1，

2

）时，OP的长是

 

；要使OP的值最小时，点P的坐标是

 

．

Answer 1

分析：已知点P的坐标为（1，

2

），运用勾股定理可直接求出OP的长；如果设点P的坐标为（x，y），那么OP=

x2+y2

，根据不等式的性质可知，当x=y时，x²+y²有最小值，即OP有最小值，又k的最小值是1，从而求出点P的坐标．

解答：解：∵点P的坐标为（1，

2

），
∴OP=

12+( 2 )2

=

3

；
设点P的坐标为（x，y），
则OP=

x2+y2

，
∵x²+y²≥2xy，
∴当x=y时，x²+y²有最小值，
又k≥1，即k的最小值是1，
解方程组

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴点P的坐标是（1，1）或（-1，-1）．
故答案为：

3

，（1，1）或（-1，-1）．

点评：此题综合考查了函数的性质，勾股定理，不等式等知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．