Question

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点．若广告商要求包装盒侧面积Scm²最大，试求x应取何值？
设AE=FB=xcm，包装盒侧面积为Scm²．

（I）分析：由正方形硬纸片ABCD的边长为60cm，AE=FB=xcm，则EF=________cm．
为更好地寻找题目中的等量关系，将剪掉的阴影部分三角形集中，得到边长为EF的正方形，其面积为________cm²；折起的四个角上的四个等腰直角三角形的面积之和为________cm²．
（Ⅱ）由以上分析，用含x的代数式表示包装盒的侧面积S，并求出问题的解．

Answer 1

（60-2x）    （60-2x）²    4x²
分析：（1）根据正方形硬纸片ABCD的边长为60cm，AE=FB=xcm，则EF=（60-2x）cm，进而得出边长为EF的正方形的面积，以及四个等腰直角三角形的面积之和；
（2）利用S=60²-（60-2x）²-4x²整理求出二次函数最值即可．
解答：（1）EF的长为：（60-2x），
图中阴影部分拼在一起是对角线为EF的正方形，其面积为：（60-2x）²cm²，
掀起的四个角上的四个等腰直角三角形的面积之和为：4x²cm²；
（2）由S=60²-（60-2x）²-4x²
=240x-8x²
=-8（x²-30x）
=-8（x-15）²+1800（0＜x＜30），
所以当x=15cm时，侧面积最大为1800cm²，
答：若包装盒侧面积Scm²最大，x应取15cm．
故答案为：（60-2x），（60-2x）²，4x²．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及最值求法，根据正方形的性质得出图形的面积是解题关键．