Question

（2013•黄石）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁、S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）证明AD=CD=BC，证明△BCD∽△BCA，得到

BC

AB

=

BD

BC

，则有

AD

AB

=

BD

AD

，所以点D是AB边上的黄金分割点；
（2）证明S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，直线CD是△ABC的黄金分割线；
（3）根据相似三角形比例线段关系，证明BG=GC，AH=HD，则梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，S_梯形ABGH=S_梯形GCDH=

1

2

S_梯形ABCD，所以GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．

解答：解：（1）点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°．
∵CD是角平分线，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD．
∵∠CDB=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴BC=CD．
∴BC=AD．
在△BCD与△BCA中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=36°，
∴△BCD∽△BCA，
∴

BC

AB

=

BD

BC

，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，
∴点D是AB边上的黄金分割点．

（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC中，AB边上的高为h，则S_△ABC=

1

2

AB•h，S_△ACD=

1

2

AD•h，S_△BCD=

1

2

BD•h．
∴S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD．
由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，

AD

AB

=

BD

AD

，
∴S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，
∴CD是△ABC的黄金分割线．

（3）直线不是直角梯形ABCD的黄金分割线．理由如下：
∵BC∥AD，
∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，
∴

BG

AH

=

EG

EH

，

GC

HD

=

EG

EH

，
∴

BG

AH

=

GC

HD

，即

BG

GC

=

AH

HD

 ①
同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：

BG

HD

=

GC

AH

，即

BG

GC

=

HD

AH

 ②
由①、②得：

AH

HD

=

HD

AH

，
∴AH=HD，
∴BG=GC．
∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，
∴S_梯形ABGH=S_梯形GCDH=

1

2

S_梯形ABCD．
∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、含36°角的等腰三角形、黄金分割、直角梯形等知识点．试题难度不大，理解题中给出的黄金分割点、黄金分割线的概念是正确解题的基础．