Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．
（1）求AC的长；
（2）求EG的长．

Answer 1

解：（1）∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
即AC²=AE•AD，
∵AE•AD=16，
∴AC²=16，
∴AC=4；

（2）在△ABC中，BC===8，
∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF，
∵EG∥BC，
∴EG=BC=×8=4．
分析：（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC²=AE•AD，代入数据计算即可；
（2）根据勾股定理求出BC的长度为8，再根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=BC．
点评：本题主要考查两角对应相等，两三角形相似，相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中．