Question

如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求BC的长．
（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．并求BD的长．
（3）求CD的长．

Answer 1

解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，
∴BC==8；

（2）△ABD为等腰直角三角形．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=AB=5；

（3）作CH⊥AB于H，CD与AB交于P，如图，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴OD=AB=5，OD⊥AB，
∵CH•AB=AC•BC，
∴CH==，
在Rt△ACH中，AH==，
∴OH=5-=，
∵CH∥OD，
∴△CHP∽△DOP，
∴===，
设PH=24t，则OP=25t，
∴24t+25t=，解得t=，
∴PH=，OP=，
在Rt△CHP中，CP==，
在Rt△DOP中，DP==，
∴CD=CP+DP=+=7．
分析：（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则AD=BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到BD=AB=5；
（3）先根据三角形面积公式计算出CH=，再勾股定理计算出AH=，则OH=，由CH∥OD，判断△CHP∽△DOP，利用相似比得==，于是可得到PH=，OP=，然后分别利用勾股定理计算出CP和DP，再把它们相加即可．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．考查了等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．