Question

在直角坐标系中，直线L₁的解析式为y=2x-1，直线L₂过原点且L₂与直线L₁交于点P（-2，a）．
（1）试求a的值；
（2）试问（-2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；
（3）设直线L₁与x轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看；
（4）在直线L₁上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于P是两个函数的交点，因此可将P点坐标代入直线L₁的解析式中，求出a的值．
（2）由于直线L₂过原点，因此一次函数L₂是个正比例函数，根据P点坐标，可确定其解析式．联立两个直线解析式所组成的方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标．
（3）根据直线L₁的解析式，可求出A点坐标；以OA为底，P点纵坐标绝对值为高，可求出△OAP的面积．
（4）若点M到x轴、y轴的距离相等，那么点M的坐标有两种情况：
①横坐标与纵坐标相等；②横坐标与纵坐标互为相反数；因此本题要分情况讨论．

解答：解：（1）把（-2，a）代入y=2x-1，得：-4-1=a，
解得a=-5．

（2）由（1）知：点P（-2，-5）；
则直线L₂的解析式是y=

5

2

x；
因此（-2，a）可以看作二元一次方程组

y=2x-1 y= 5 2 x

的解．

（3）直线L₁与x轴交于点A（

1

2

，0），
所以S_△APO=

1

2

×

1

2

×5=

5

4

．

（4）存在点M，使得点M到x轴和y轴的距离相等．
设点M的坐标为（a，b）；
①当a=b时，点M的坐标为（a，a）；代入y=2x-1得：2a-1=a，a=1；即点M的坐标为（1，1）；
②当a=-b时，点M的坐标为（a，-a）；代入y=2x-1得：2a-1=-a，a=

1

3

；即点M的坐标为（

1

3

，-

1

3

）．
综上所述，存在符合条件的点M坐标为（1，1）或（

1

3

，-

1

3

）．

点评：本题是一个开放性问题，综合考查了函数图象交点、图形面积求法等知识．解答（4）题时需注意，由于点M的坐标存在两种情况，因此要分类讨论，以免漏解．