Question

如图，∠AOB=60°，P、Q两点分别由O点沿OA、OB方向同时移动，移动速度分别为a米/秒和b米/秒，过P、Q分别作PM⊥OB于M，QN⊥OA于N，求：
（1）△POM与△QON的周长之比与面积之比；
（2）若在移动过程中，P与N重合时，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（1）欲求△POM与△QON的周长之比与面积之比，可以证明△PMO∽△QNO得出；
（2）由于∠AOB=60°，通过三角函数的知识能够求出

a

b

的值．

解答：解：（1）设运动了t秒，则OP=at，OQ=bt
∵PM⊥OB，QN⊥OA
∴∠PMO=∠QNO=90°，∠O=∠O
∴△PMO∽△QNO（3分）
∴

C△POM

C△QNO

=

PO

QO

=

at

bt

=

a

b

∴

S△POM

S△QNO

=(

PO

QO

)2=(

a

b

)2=

a2

b2

（6分）

（2）∵∠AOB=60°
∴OM=

1

2

OP=

1

2

at（9分）
由（1）得

PO

QO

=

OM

PO

即

a

b

=

1 2 a

a

=

1

2

（12分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，及三角函数的知识．相似三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方．