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    19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴分别相交于B，C两点，抛物线上一点A的横坐标为2，连接AB，AC，正方形DEFG的一边GF在线段BC上，点D，E在线段AB，AC上，AK⊥x轴于点K，交DE于点H，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
    x…-204810…
    y…05950…
    （1）求出这条抛物线的解析式；
    （2）求正方形DEFG的边长；
    （3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P，在x轴上是否存在点Q，使得四边形ADQP的周长最小？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）利用已知表格中数据结合顶点式直接求出抛物线解析式即可；
    （2）首先得出四边形HEFK为矩形，再利用△ADE∽△ABC，得出正方形DEFG的边长；
    （3）首先求出AB所在直线解析式，进而得出D点坐标，再求出直线A′D′的解析式得出Q′的坐标即可．

    解答 解：（1）由图表可得：抛物线的顶点坐标为：（4，9），
    设函数解析式为：y=a（x-4）2+9（a≠0），
    把点（0，5）代入y=a（x-4）2+9，
    解得：a=-$\frac{1}{4}$．
    ∴函数解析式为：y=-$\frac{1}{4}$（x-4）2+9；

    （2）设正方形DEFG的边长为m，
    ∵AK⊥x轴，
    ∴∠AKC=90°，
    ∵∠DEF=∠EFG=90°，
    ∴四边形HEFK为矩形，
    ∴HK=EF=m，
    ∵点A在抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x-4）2+9上，横坐标为2，
    ∴y=-$\frac{1}{4}$（x-4）2+9=8，
    ∴点A的坐标为：（2，8），
    ∴AK=8，∴AH=AK-HK=8-m，
    由题意可得：B（-2，0），C（10，0），
    ∴BC=12，
    ∵DE∥BC，
    ∴△ADE∽△ABC，
    ∴$\frac{AH}{AK}$=$\frac{DE}{BC}$，
    ∴$\frac{8-m}{8}$=$\frac{m}{12}$，
    ∴m=$\frac{24}{5}$，
    ∴正方形的边长为：$\frac{24}{5}$；

    （3）存在，
    理由：过顶点M作抛物线的对称轴直线l：x=4，
    设点A关于直线l：x=4对称点为A′，A′点的坐标为：（6，8），
    ∴设AB所在直线解析式为：y=kx+b，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{8=2k+b}\\{0=-2k+b}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
    ∴AB所在直线解析式为：y=2x+4，
    ∵D在直线AB上，DG=$\frac{24}{5}$，
    ∴点D的纵坐标为：$\frac{24}{5}$，
    由2x+4=$\frac{24}{5}$，
    解得：x=$\frac{2}{5}$，
    ∴点D的坐标为：（$\frac{2}{5}$，$\frac{24}{5}$），
    设点D关于x轴对称点为D′，则D′（$\frac{2}{5}$，-$\frac{24}{5}$），
    连接A′D′交对称轴于点P，交x轴于点Q，连接AP，DQ，
    则四边形ADQP的周长最小，
    设直线A′D′的解析式为：y=k′x+b′，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{6k′+b′=8}\\{\frac{2}{5}k′+b′=-\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k′=\frac{16}{7}}\\{b′=-\frac{40}{7}}\end{array}\right.$，
    ∴直线A′D′的解析式为：y=$\frac{16}{7}$x-$\frac{40}{7}$，
    当x=4时，y=$\frac{16}{7}$×4-$\frac{40}{7}$=$\frac{24}{7}$，∴P（4，$\frac{24}{7}$），
    当y=0时，x=$\frac{5}{2}$，
    ∴Q点坐标为：（$\frac{5}{2}$，0）．

    点评 此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用轴对称得出四边形ADQP的周长最小时P的位置是解题关键．

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    （2）将AP绕点A顺时针旋转60度至AP′位置
    ①证明：BP=DP′；
    ②在线段AC上是否存在点P，使得BP+OP+AP的值最小？若不存在请说明理由；若存在，请简要说明理由并求出这个最小值（结果精确到0.1）

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