Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB=BC．CD∥AB，点D在点C的右侧，点A，E关于直线BD对称，CE交BD于点F，AE交DB延长线于点G．

（1）（猜想）

如图①，当∠ABC=90°时，∠EFG=________；

（2）（探究）

在（1）的前提下，若AB=4，CD=1，求EF的长；

（3）（应用）

如图②，当∠ABC=120°时，若EF=2 ，AB=2，则CD=________．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）EF= ；（3） -1

【解析】

（1）连接BE，利用轴对称的性质得BE=BC=AB，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角、外角关系求解即可；

（2）易证△ABG∽△BCD，利用相似三角形的性质得AG：BC=AB：BD，据此求出AG．由轴对称性得GE=AG，由∠EFG=45°得EF=AG，计算即可得到答案；

（3）连接BE，过点C作CH⊥GD于H，同（1）可得∠BEF=∠BCE=∠CBF=15°，进而得BF=CF=，则CH=，进而得CD=CH，故可求．

（1）连接BE，如图所示：

因为点A，E关于直线BD对称，且AB=BC，所以利用轴对称的性质得BE=BC=AB，且.由等腰三角形的性质可得，，又因为三角形ACE的内角等于，且∠ABC=90°，AB=BC，所以三角形ACE的内角等于，所以 ，又因为，所以，又因为，所以∠EFG=45°.

（2）解：∵CD∥AB，∴∠D=∠ABG．

又∠AGB=∠BCD=∠ABC=90°，

∴△ABG∽△BCD，

又∵AB=4，CD=1，AB=BC，

∴BD=，AB=BC=4，

∴AG：BC=AB：BD，可以得到AG= .由对称性，得GE=AG= ．又由∠EFG=45°得EF=AG，∴EF= .

（3）连接BE，过点C作CH⊥GD于H，如下图所示：

同（1）可得∠BEF=∠BCE=∠CBF=15°，进而得BF=CF=，则CH=，进而得CD=CH，故可求CD==-1.