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    如图，将等腰梯形ABCD放在平面直角坐标系中，使底AB在x轴上，顶点D在y轴上，且A（-3，0），D（0，4），C（4，4），再将梯形ABCD绕点D顺时针方向旋转90°，得到梯形A1B1C1D1．
    （1）填空：点A1的坐标是
     
    ，点B1的坐标是
     
    ．
    （2）如果将梯形A1B1C1D1向右平移x（x≤7）个单位，求得到的梯形与梯形ABCD重叠部分的面积S与x的函数关系式，并求S的最大值？
    （3）探究：当（2）中的S取最大值时，是否存在经过点A且以平移后得到的梯形的中位线所在直线为对称轴的抛物线l（设顶点为P），使△ABP与△CDP的面积之和等于梯形300＜x≤700的面精英家教网积？若存在，求出抛物线l的解析式；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先画出旋转后的梯形A1B1C1D1，然后观察点A1和点B1的位置即可得出两点坐标；
    （2）先分别讨论当x取不同的取值范围时，面积S关于x的函数关系式，然后求出当x=4时，面积S最大；
    （3）先求出梯形的面积，然后根据已知条件分别讨论当m的取值范围不同时抛物线的解析式．
    解答：精英家教网解：（1）A1（-4，7），B1（-4，-3）；

    （2）①当0≤x＜1时，S=4x+6，
    ②当1≤x＜4时，S=4x+6-
    2
    3
    (x-1)2=-
    2
    3
    x2+
    16
    3
    x+
    16
    3
    ，
    ③当4≤x≤7时，S=4(8-x)+6-
    2
    3
    (7-x)2=-
    2
    3
    x2+
    16
    3
    x+
    16
    3
    ，
    ∴S=
    4x+6
    -
    2
    3
    x2+
    16
    3
    x+
    16
    3
    (1≤x≤7)
    ，
    当0≤x＜1时，S=4x+6＜10，
    当1≤x≤7时，S=-
    2
    3
    (x-4)2+16≤16    ，
    ∴当x=4时，S有最大值16；

    （3）由（2）得x=4时，S有最大值，故平移后得到的梯形中位线所在直线为x=2．
    设P（2，m），又S梯形ABCD=28，
    则①当m＜0时，有S△FAB+S△PCD=28，
    即
    1
    2
    ×10(-m)+
    1
    2
    ×4(4-m)=28    ，
    解得m=-
    20
    7
    ，
    此时l的解析式为：y=
    4
    35
    x2-
    16
    35
    x-
    84
    35
    ，
    ②当0＜m＜4时，有S△PAB+S△PCD=28，
    即
    1
    2
    •10m+
    1
    2
    •4(4-m)=28    ，
    解得：m=
    20
    3
    ＞4    （不合题意，舍去）
    ③当m＞4时，有S△PAB+S△PCD=28，
    即
    1
    2
    •10m+
    1
    2
    •4(m-4)=28    ，
    解得m=
    36
    7
    ，
    此时l的解析式为y=
    36
    175
    x2+
    144
    175
    x+
    756
    175
    ．
    点评：本题是二次函数的综合题，题中涉及平移、梯形的性质等知识点，解题时要注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．
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