Question

如图，已知直线y=-x+2与抛物线y=a（x+2）²相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点。

（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为1，点P的横坐标为x，请求出l²与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）A的坐标是（0，2） 抛物线的解析式是y=（x+1）2； （2）如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，过点P作PD⊥x轴于点D， 设P的坐标是（x，-x+2），则在Rt△PDM中， PM2=DM2+PD2， 即l2=（-2-x）2+（-x+2）2=x2+2x+8， 自变量x的取值范围是：-5＜x＜0； （3）存在满足条件的点P，连接AM， 由题意得，AM=， ①当PM=PA时，x2+2x+8=x2+（-x+2-2）2， 解得：x=-4，此时y=-×（-4）+2=4， ∴点P1（-4，4）； ②当PM=AM时，x2+2x+8=（2）2， 解得：x1=-，x2=0（舍去），此时y=-×（-）+2=， ∴点P2（-，）； ③当PA=AM时，x2+（-x+2-2）2=（2）2， 解得：x1=-，x2=（舍去），此时y=-×（-）+2=， ∴点P3（-，）， 综上所述，满足条件的点为P1（-4，4）、P2（-，）、P3（-， ）。