Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作，垂足为H，连接，．设点P的运动时间为秒．
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1），．························································· 1分
当时，，．
所以直线AB与CD交点的坐标为．···················································· 2分
（2）

当0＜＜时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积．
过点M作，垂足为N．
由△AMN∽△ABO，得．
∴．∴．········································································ 4分
∴△MPH的面积为．
当时，．············································································· 5分
当＜≤3时，设MH与CD相交于点E，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即
△PEH的面积．
过点M作于G，交HP的延长线于点F．


．
．
由△HPE∽△HFM，得．
∴．∴．································································ 8分
∴△PEH的面积为．
当时，．
综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，为1或．·················· 9分
（3）有最小值．
连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形．
∴．     ∴．
当点C，H，Q在同一直线上时，的值最小．···································· 11分
∵点C，Q的坐标分别为，，    ∴直线CQ的解析式为，
∴点H的坐标为．    因此点P的坐标为．······························ 12分

略