Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E，F为垂足，设DC=m，AB=n。
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）求四边形DEFC的周长。

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB， ∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA， ∴OA=OB，OC=OD， 从而AC=BD， 在△ACB与△BDA中， ∵AB=AB，∠CAB=∠DBA，AC=BD， ∴△ACB≌△BDA；
（2）过点C作CG∥BD，交AB延长线于G， ∵DC∥AG，CG∥BD， ∴四边形DBGC为平行四边形， ∵△ACB≌△BDA， ∴AD=BC， 即梯形ABCD为等腰梯形， ∵AC=BD=CG， ∴AC⊥BD， 即AC⊥CG， 又CF⊥AG， ∴CF=AG， 又AG=AB+BG=， ∴CF=， 又四边形DEFC为矩形，故其周长为 2（DC+CF）=。