Question

【题目】如图，在正方形中，对角线上有一点，连结，作交于点．过点作直线的对称点，连接

求证：

求证：四边形为平行四边形；

若有可能成为菱形吗?如果可能，求此时长；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）利用对称的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，从而可证明结论；

（2）根据点与点关于直线对称，推出，再根据正方形的性质得出，从而推出，再利用（1）中结论，得出，可得出，推出，继而证明结论；

（3）过点作于点于点，根据已知条件结合示意图可证明，得到，又因为，继而得出，当四边形为菱形时，为等边三角形，从而得出，设， 则，，再结合AB=4求x的值，进一步计算即可得出答案．

解：证明：点与点关于直线对称，

，，

四边形为正方形，

，

；

点与点关于直线对称，

，

，

，

，

∴∠GEC＝∠BCE＝∠CGE＝45°，

，

，

由得，

，

，

，

四边形为平行四边形；

如图所示，过点作于点于点，连接DE，

，

，

，

，

，

，

，

四边形为正方形，

关于对称，

，

，

当四边形为菱形时，，

为等边三角形，

，

设，则，

，

，

四边形为正方形，，

，

，

.