Question

已知，如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G交BC的延长线于F．
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若BC=6，FE=4，求FC和AG的长．

Answer 1

分析：（1）连接CE和OE，因为BC是直径，所以∠BEC=90°，即CE⊥BE；再根据等腰三角形三线合一定理，可以知道CE也是AB的中线，即AE=BE．
（2）根据已知得OE是△ABC的中线，从而得到∠OEC=∠ECG，进而可得到∠OEF=90°，那么就证出EF是切线．
（3）直接利用切割线定理求出CF的长，利用OE∥AC，可以得到比例线段，求出CG的长，那么AG=AC-CG，AG就可求得．

解答：（1）证明：连接CE和OE；
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥AB；
又∵AC=BC，
∴BE=AE．

（2）证明：∵BE=AE，OB=OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，AC=2OE=6．
∴∠OEC=∠ACE．
又∵EG⊥AC，
∴∠CEG+∠ACE=90°，
∴∠CEG+∠OEC=90°，
∴∠OEF=90°．
∴EF是⊙O的切线．

（3）解：∵EF是⊙O的切线，
∴EF²=CF•BF．
设CF=x，则有x（x+6）=16，
解得，x₁=2，x₂=-8（不合题意，舍去）那么CF=2；
∵OE∥AC，
∴

CG

OE

=

CF

OF

，
∴

CG

3

=

2

5

，
∴CG=

6

5

．
∴AG=AC-CG=6-

6

5

=

24

5

．

点评：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．