Question

如图，已知直角坐标系内两点A(3

3

，0)和B（0，3），以线段AB为边作等边三角形ABC，求顶点C的坐标．

Answer 1

分析：点C的位置可以在AB的左下方，也可在AB的右上方，利用等边三角形的性质及解直角三角形可求解．

解答：解：C点的坐标为（0，-3）或(3

3

，6)
由题意可知：OA=3

3

，OB=3
∴在Rt△OAB中，AB=6
∠OAB=30°，∠OBA=60°
以AB为边作等腰三角形，顶点C可在AB的右上方，也可在AB的左下方，需分情况讨论：
第一种情况：如图1，顶点C可在AB的右上方
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°
∴∠OAC=90°，即AC垂直x轴
∵AC=AB=6
∴C点坐标（3

3

，6）
第二种情况：如图2，顶点C可在AB的左下方
∵∠OAB=30°，∠BAC=60°
∴∠OAC=30°
∴OA平分∠BAC
∵△ABC为等边三角形
∴OA垂直平分BC，则点C在y轴的负半轴上
∵BC=6，∴OC=3
∴C点坐标（0，-3）．

点评：本题综合考查了坐标与图形的性质和等边三角形的性质；题目是综合性较强的题，主要是C点位置的确定．