Question

已知：二次函数y=ax²-2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直线y=-

1

3

x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α-β的值；
（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA²？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中有两个待定系数，欲求其解析式，需得到其图象上两点的坐标；已知抛物线“平移一个单位后经过坐标原点O”，结合图象可得到A（-1，0），而抛物线的解析式为x=1，根据二次函数的对称性可求得点B的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得待定系数的值，即可确定该抛物线的解析式．
（2）此题若直接求两角的度数差，有一定难度，可从其他方面入手求解．根据抛物线和直线BD的解析式，可求得C、D、E的坐标，即可得到∠OBC=∠OCB=45°；连接CE，过E作EF⊥y轴于F，根据C、E的坐标，可求得∠ECF=45°，由此可得到∠BCE=45°，那么∠BCE=90°，易得BC、CE，OB、OC的长，此时可发现Rt△OBD和Rt△CBE的两组直角边正好对应成比例，由此可证得两个三角形相似，即∠CBE=∠DBO，因此所求角的度数差可转化为∠OBC的度数；在Rt△OBC中，已经求得∠OBC=∠OCB=45°，由此得解．
（3）由于点M的坐标无法和PA²直接发生联系，可以△BDM的面积为突破口进行求解；易知抛物线的对称轴方程，可设出点P的解析式，利用PA=PC的关系，求出点P的坐标，进而得到PA²的值，即可求得△BDM的面积．由于△BDM的面积无法直接求出，可用面积割补法求解；
①若点M在y轴右侧、x轴上方，先根据抛物线的解析式设出点M的坐标（设横坐标，根据解析式表示出纵坐标），连接OM，那么△OBM、△ODM的面积和，减去△OBD的面积即为△BDM的面积，由此可得到关于点M横坐标的方程，进而可求得点M的坐标；
②若点M在y轴右侧、x轴下方，方法同上．
另一种解法是，过M作直线BD的平行线，交y轴于H，那么△BDM和△BDH同底等高，则面积相等，据此求得点H的坐标，由于直线MH与直线BD的斜率相同，即可确定直线MH的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点M的坐标，这种解法也要分成两种情况考虑．

解答：解：（1）由题意，A（-1，0），
∵对称轴是直线x=1，
∴B（3，0）；（1分）
把A（-1，0），B（3，0）分别代入y=ax²-2x+c
得

0=a+2+c 0=9a-6+c

；（2分）
解得

a=1 c=-3

．
∴这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3．（3分）

（2）∵直线y=-

1

3

x+1与y轴交于D（0，1），
∴OD=1，
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4得E（1，-4）；
连接CE，过E作EF⊥y轴于F（如图1），则EF=1，
∴OC=OB=3，CF=1=EF，
∴∠OBC=∠OCB=∠45°，
BC=

OB2+OC2

=3

2

，
CE=

CF2+FE2

=

2

；
∴∠BCE=90°=∠BOD，

OD

CE

=

1

2

，

OB

BC

=

3

3 2

=

1

2

，
∴

OD

CE

=

OB

BC

，
∴△BOD∽△BCE，（6分）
∴∠CBE=∠DBO，
∴α-β=∠DBC-∠CBE=∠DBC-∠DBO=∠OBC=45°．（7分）

（3）设P（1，n），
∵PA=PC，
∴PA²=PC²，即（1+1）²+（n-0）²=（1+0）²+（n+3）²
解得n=-1，
∴PA²=（1+1）²+（-1-0）²=5，
∴S_△EDW=PA²=5；（8分）
法一：设存在符合条件的点M（m，m²-2m-3），则m＞0，
①当M在直线BD上侧时，连接OM（如图1），
则S_△BDM=S_△OBM+S_△ODM-S_△BOD=5，
即

1

2

OB•|yM|+

1

2

OD|xM|-

1

2

OB•OD=5，

3

2

(m2-2m-3)+

1

2

m-

3

2

=5，
整理，得3m²-5m-22=0，
解得m₁=-2（舍去），m2=

11

3

，
把m=

11

3

代入y=m²-2m-3得y=

28

9

；
∴M(

11

3

，

28

9

)；（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，连接OM₁（如图1），
则S_△BDM1=S_△BOD+S_△BOM1-S_△DOM1=5，
即

1

2

OB•OD+

1

2

OB•|yM1|-

1

2

OD•|xM1|=5，

3

2

+

3

2

[-(m2-2m-3)]-

1

2

m=5，
整理，得3m²-5m-2=0，
解得\m1=2，m2=-

1

3

，（舍去）
把m=2代入y=m²-2m-3得y=-3，
∴M₁（2，-3）；
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为(

11

3

，

28

9

)或（2，-3）．（12分）
法二：设存在符合条件的点M（m，m²-2m-3），则m＞0，
①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴，
交DB于G；（如图2）
设D、B到MG距离分别为h₁，h₂，则
S_△BDM=S_△DMG-S_△BMG=5，
即

1

2

MGh1-

1

2

MGh2=5，

1

2

|yM-yG|•(h1-h2)=5，

1

2

[m2-2m-3-(-

1

3

m+1)]•3=5，
整理，得3m²-5m-22=0；
解得m₁=-2（舍去），m2=

11

3

；
把m=

11

3

代入y=m²-2m-3
得y=

28

9

；
∴M(

11

3

，

28

9

)．（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，过M₁作M₁G₁∥y轴，交DB于G₁（如图2）
设D、B到M₁G₁距离分别为h₁、h₂，则S_△BDM=S_△DM1G1+S_△BM1G1=5，
即

1

2

M1G1h1+

1

2

M1G1h2=5，

1

2

|yG1-yM1|•(h1+h2)=5，

1

2

[-

1

3

m+1-(m2-2m-3)]•3=5，
整理，得3m²-5m-2=0，
解得m1=2，m2=-

1

3

，（舍去）
把m=2代入y=m²-2m-3得y=-3，
∴M₁（2，-3）；
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为(

11

3

，

28

9

)或（2，-3）．（12分）
法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；（如图3）
则S_△DHB=S_△BDM=5，
即

1

2

DH•OB=5，

1

2

DH•3=5，
∴DH=

10

3

，
∴H(0，

13

3

)；
∴直线MH解析式为y=-

1

3

x+

13

3

；
联立

y=- 1 3 x+ 13 3 y=x2-2x-3

得

x=-2 y=5

或

x= 11 3 y= 28 9

；
∵M在y轴右侧，
∴M坐标为(

11

3

，

28

9

)．（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M₁，过M₁作M₁H₁∥BD，交y轴于H₁，
连接BH₁（如图3），同理可得DH1=

10

3

，
∴H1(0，-

7

3

)，
∴直线M₁H₁解析式为y=-

1

3

x-

7

3

，
联立

y=- 1 3 - 7 3 y=x2-2x-3

得

x=2 y=-3

或

x=- 1 3 y=- 20 9

；
∵M₁在y轴右侧，
∴M₁坐标为（2，-3）
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为(

11

3

，

28

9

)或（2，-3）．（12分）

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数图象的平移、解析式的确定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等重要知识．（3）题只要求出PA²的值，抓住△BDM的面积这个突破口就能顺利求得点M的坐标．