[题目]如图.已知在△ABC中.∠B=90°.AB=8cm.BC=6cm．P.Q是△ABC边上的两个动点.其中点P从点A出发沿A→B方向运动.速度为每秒1cm.到达点B停止运动,点Q从点B出发沿B→C→A方向运动.速度为每秒2cm.到达点A停止运动．它们同时出发.设出发时间为t秒．(1)当t= 秒时.PQ∥AC,(2)设△PQB的面积为S.求S关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm．P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为每秒1cm，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm，到达点A停止运动．它们同时出发，设出发时间为t秒．

（1）当t=________秒时，PQ∥AC；

（2）设△PQB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出能使△BCQ为等腰三角形的t的值．

【答案】（1）；（2）S=-t2+8t（0<t≤3）或S=（3<t<8）；（3）当t为5.5，6或6.6时，△BCQ为等腰三角形．

【解析】

（1）根据平行的性质，在三角形中，根据相似三角形的性质，即可得到答案；

（2）根据题意，由t的范围分别计算函数解析式即可；

（3）根据等腰三角形的性质，讨论t的值即可．

解：（1）如图，当PQ∥AC时，△BQP∽△BCA，

∴，即，

解得：t=，

故答案为：；

（2）解：当0<t≤3时，如图所示：

BQ=2t，BP=8-t，

则S=BP·BQ

=×(8-t) ×2t

=-t2+8t，

当3<t<8时，如图所示，过点Q作QH⊥AH于点H，

HQ=(16-2t)，

∴S=BP·HQ

=；

（3）当t为5.5，6或6.6时，△BCQ为等腰三角形，

①当CQ=BQ时，如图所示：

则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5

②当CQ=BC时，如图所示：

则BC+CQ=12，

∴t=12÷2=6

③当BC=BQ时，如图所示、过点B作BE⊥AC于点E，

则BE= =4.8，

∴CE= =3.6，

∴CQ=2CE=7.2，

∴BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6，

综上，当t为5.5，6或6.6时，△BCQ为等腰三角形．

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