Question

已知：关于x的方程 （k-1）x²-2kx+k+2=0 有解．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是方程的两个不等根，且满足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．求此时K的值．

Answer 1

分析：（1）由方程有解，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：（1）当k=1时，方程为一元一次方程-2x+3=0，其有一个解．
当k≠1时，方程为一元二次方程，其有两个相等或不相等的实数根，
△=（-2k）²-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．
综上所述，k的取值范围是k≤2．
（2）∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k≠1，
由题意得：（k-1）x₁²+（k+2）=2kx₁（*），
将（*）代入（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂中得：2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．
又∵x₁+x₂=

2k

k-1

，x₁x₂=

k+2

k-1

，
∴2k•

2k

k-1

=4•

k+2

k-1

．
解得：k₁=-1，k₂=2（不合题意，舍去），
则所求k值为-1．

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．熟练掌握根与系数的关系是解本题第二问的关键．