Question

已知抛物线y=

1

2

x²-x+2．
（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=-x+4相交于点P，试证

OP

OA

+

OP

OB

=2；
（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的对称轴方程和顶点坐标．
（2）可通过构建相似三角形将

OP

OA

和

OP

OB

进行适当转换，分别过A、P、B作x轴的垂线，设垂足为A′、P′、B′；那么

OP

OA

和

OP

OB

就可转换成P、A的横坐标比以及P、B的横坐标比．由于A、B、P均为函数的交点，因此可联立相关函数，根据韦达定理进行求解．
（3）可根据直线y=kx的解析式，用A、B的横坐标表示出各自的纵坐标，然后根据韦达定理和两点的纵坐标和为4求出k的值，由于两函数有两个不同的交点，因此两函数联立的方程△＞0，可得出一个k的取值范围，然后根据这个范围判定k的值是否符合要求即可．

解答：（1）解：抛物线y=

1

2

x²-x+2=

1

2

（x-1）²+

3

2

，
所以抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，

3

2

）

（2）证明：由

y= 1 2 x2-x+2 y=kx

，
得x²-2（k+1）x+4=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=4；
由

y=kx y=-x+4

，
得x=

4

k+1

（k＞0）．
即P点的横坐标x_P=

4

k+1

；
作AA′⊥x轴于A′，PP′⊥x轴于P′，BB′⊥x轴于B′，于是：

OP

OA

+

OP

OB

=

OP′

OA′

+

OP′

OB′

=

xp

x1

+

xp

x2

=

xp(x1+x2)

x1x2

=

4

k+1

•

2(k+1)

4

=2．

（3）解：不存在．
因为A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）在直线y=kx上，由题意，得
y₁+y₂=kx₁+kx₂=k（x₁+x₂）=k•2（k+1）=4；
所以k²+k-2=0．
解得k=1，k=-2（舍去）
当k=1时，方程x²-2（k+1）x+4=0可化为x²-4x+4=0有两个相等的实数根，不同题意舍去
故适合条件的k值不存在．

点评：本题主要考查了函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系、函数图象交点等知识．