【题目】请阅读下列材料：
问题：已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的
倍
解：设所求方程的根为
，则
，所以
.
把代入已知方程，得
.
化简，得
故所求方程为.
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.
（1）已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_______________.
（2）已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
（3）已知关于
的一元二次方程
（
）的两个实数根分别为
，
，求一元二次方程
的两根.（直接写出结果）
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
南大教辅抢先起跑暑假衔接教程南京大学出版社系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，连结BC，过D作PF∥AC交AB于E，交⊙O于F，交BC于点G，交过B点的直线于点P，且∠BPF=∠ADC．
（1）判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为
，AC=2，BE=1，求BP的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求
的值．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】（1）（问题发现）
如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，延长CA到点F，使得AF＝AC，连接DF、BE，则线段BE与DF的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）（拓展研究）
将△ADE绕点A旋转，（1）中的结论有无变化？仅就图（2）的情形给出证明；
（3）（解决问题）
当AB＝2，AD＝
，△ADE旋转得到D，E，F三点共线时，直接写出线段DF的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．
（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝4，BD＝6．
①若α＝30°，β＝60°，AB的长为 ；
②若改变α、β的大小，且α+β＝90°，求△ABC的面积．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】服装厂准备生产某种样式的服装40000套，分黑色和彩色两种．
（1）若生产黑色服装的套数不多于彩色服装套数的
，问最多生产多少套黑色服装？
（2）目前工厂有100名工人，平均每人生产400套，由于展品会上此种样式服装大受欢迎，工厂计划增加产量；由于条件发生变化，人均生产套数将减少1.25a%（20＜a＜30），要使生产总量增加10%，则工人需增加2.4a%，求a的值．
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【题目】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？
（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量
的取值范围；
（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
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