Question

如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．
求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．

Answer 1

证明：（1）直角三角形ACB中，
∵CE是斜边AB的中线，
∴CE=AE=BE=CD，
又∵AB∥CD，
∴BCDE为平行四边形，
∴BC∥DE，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．

（2）∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠A．
由（1）知EC=EA，
∴∠A=∠ACE．
∴∠ACD=∠ACE．
分析：（1）要证DE⊥AC，已知了AC⊥BC那么关键就是证明DE∥BC．那么就要证明四边形BECD是平行四边形，已知了CD∥BA，可再证CD=BE来得出平行四边形，已知了CE=CD，CE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），因此CD=BE，因此四边形ABCD是平行四边形，那么就得出了DE∥BE，也就证得DE⊥AC．
（2）要证∠ACD=∠ACE，由于AE=CE），∠A=∠ACE，又由AB∥CD，内错角相等即可得出∠ACD=∠ACE．
点评：本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质的知识点，根据直角三角形的性质得出四边形的对边相等是解题的关键．