Question

如图，边长为2的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D是线段BC上的动点（不与B、C重合）连接OD，OD的垂直平分线交AB于M，交OC于N．设CD=x，四边形BCNM的面积为S．
（1）当x=1时，求D点坐标；
（2）求证：MN=OD；
（3）写出S关于x的函数关系式，当CD为何值时，四边形BCNM的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

解：如图
（1）当x=1时，D是BC的中点，D点坐标为（1，2）；

（2）证明：过点M作MG⊥OC垂足为G，四边形OABC为正方形
∴OC=OA=MG∠DCO=∠MGN=99°
又∵MN是OD的垂直平分线
∴∠MNG+∠COD=90°∠CDO+∠COD=90°
∴∠MNG=∠CDO
∴△COD≌△GMN（AAS）
∴MN=OD；

（3）∵MN是OD的垂直平分线
∴OE=OD∠NEO=90°=∠DCO∠NOE=∠DOC
∴△NEO∽△DCO
∴
∴ON==
CN=2-ON=
∴S_{四边形BCNM}=
=
=
∴当CD=1时，四边形BCNM的面积最大，最大值是．
分析：（1）利用正方形的性质，当x=1时，D是BC的中点，求出D点坐标；
（2）过点M作MG⊥OC垂足为G，利用正方形和矩形的性质，等角的余角相等…证明Rt△OCD和Rt△MNG全等即可求证；
（3）由△ONE∽△ODC相似得出ON的长（用x表示），再表示出CN、CG（BM）的长，用梯形的面积计算得出S关于x的二次函数关系式，进一步求最大值．
点评：本题是一个综合性很强的题目，用到了正方形的性质，三角形全等、相似，求面积转化为二次函数，进一步用配方法求得最大值，使问题得以解决．