Question

如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知抛物线①y=x²+2x-1，判断下列抛物线②y=-x²+2x+1；③y=x²+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．
（2）抛物线C₁：y=（x+1）²-2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C₂，若抛物线C₁与C₂关联，求抛物线C₂的解析式．
（3）A为抛物线C₁：y=（x+1）²-2的顶点，B为与抛物线C₁关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵①抛物线y=x²+2x-1=（x+1）²-2的顶点坐标为M（-1，-2），
∴②当x=-1时，y=-x²+2x+1=-1-2+1=-2，
∴点M在抛物线②上；
∵③当x=-1时，y=x²+2x+1=1-2+1=0，
∴点M不在抛物线③上；
∴抛物线①与抛物线②有关联；
∵抛物线②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其顶点坐标为（1，2），
经验算：（1，2）在抛物线①上，
∴抛物线①、②是关联的；

（2）抛物线C₁：y=（x+1）²-2的顶点M的坐标为（-1，-2），
∵动点P的坐标为（t，2），
∴点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4，
∴点N的纵坐标为6，
当y=6时，（x+1）²-2=6，
解得：x₁=7，x₂=-9，
①设抛物C₂的解析式为：y=a（x-7）²+6，
∵点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，
∴a=-．
∴抛物线C₂的解析式为：y=-（x-7）²+6；
②设抛物C₂的解析式为：y=a（x+9）²+6，
∵点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，
∴a=-．
∴抛物线C₂的解析式为：y=-（x+9）²+6；
（3）点C在y轴上的一动点，以AC为腰作等腰直角△ABC，令C的坐标为（0，c），则点B的坐标分两类：
①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为H，F，则△BCF≌△CAH，
∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，点B的坐标为（c+2，c-1），
当点B在抛物线C₁：y=（x+1）²-2上时，c-1=（c+2+1）²-2，
解得：c=1．
②当A，B，C顺时针分布时，如图中B′点，过点B′作y轴的垂线，垂足为D，
同理可得：点B′的坐标为（-c-2，c+1），
当点B′在抛物线C₁：y=（x+1）²-2上时，c+1=（-c-2+1）²-2，
解得：c=3+4或c=3-4．
综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C点的坐标分别为：C₁（0，1），C₂（0，3+4），C₃（0，3-4）．
分析：（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；
（2）首先求得抛物线C₁的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；
（3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析，根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．