Question

如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，
∵⊙A与OM相切与点B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切线；

（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=，
∴AF=AF•tan60°=2，
∴S_阴影=S_△AEF-S_扇形ADF=AF•EF-×π×AF²=2-π．
分析：（1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；
（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S_阴影=S_△AEF-S_扇形ADF，即可求得答案．
点评：此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．