Question

如图，双曲线y=（k＞0，x＞0）的图象上有两点P₁（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂），且x₁＜x₂，分别过P₁和P₂向x轴作垂线，垂足为B、D．过P₁和P₂向y轴作垂线，垂足为A、C．
（1）若记四边形AP₁BO和四边形CP₂DO的面积分别为S₁和S₂，周长为C₁和C₂，试比较S₁和S₂，C₁和C₂的大小；
（2）若P是双曲线y=（k＞0，x＞0）的图象上一点，分别过P向x轴、y轴垂线，垂足为M、N．试问当P点落在何处时，四边形PMON的周长最小？

Answer 1

解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S₁=S₂=k；
当y₁-y₂=x₂-x₁，即AC=BD时，C₁=C₂；
当y₁-y₂＜x₂-x₁，即AC＜BD时，C₁＜C₂；
当y₁-y₂＞x₂-x₁，即AC＞BD时，C₁＞C₂．

（2）设P（x，y），即（x，），
四边形PMON的周长=2（x+y）=2（x+），
因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，
所以x=，即x²=k，
解得x=，
故P点坐标为（，）．
分析：（1）根据反比例函数中系数k的几何意义可直接得到S₁=S₂；由于AC、BD的值不能确定，所以应分AC=BD、AC＜BD、AC＞BD三种情况讨论．
（2）根据题意画出图形，设出P点坐标，根据k为定值，则当x=y时四边形的周长最小．
点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义及最值问题，在解（1）时要注意注意分类讨论．