Question

△ABC中，BC，AC，AB，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论.

Answer 1

解：若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²>c²

若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²<c²

当△ABC是锐角三角形时，

证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x

根据勾股定理得   b²－x²＝c²―(a―x) ²

即   b²－x²＝c²―a²＋2ax―x ²

∴a²＋b²＝c²＋2ax

∵a>0，x>0

∴2ax>0

∴a²+b²>c² 

当△ABC是钝角三角形时，

证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点D.

设CD为x，则有DB²=a²－x²

根据勾股定理得   (b＋x)²＋a²―x ²＝c²

即   b²＋2bx＋x²＋a²―x ²＝c²

∴a²＋b²＋2bx＝c²

∵b>0，x>0

∴2bx>0

∴a²+b²<c².