Question

已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点O为圆心、OC为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥AB于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．（如图1）
（2）请分析⊙O与直线AB可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围．（图2供思考用）

Answer 1

解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠OCE．
又∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠A=∠OEC，
又∵EF⊥AB于F，
∴∠A+∠FEA=90°，
∴∠OEC+∠FEA=90°，
∴∠OEF=180-（∠OEC+∠FEA）=90°，
∴OE⊥EF，
∴EF是圆O的切线；

（2）∵△AEF∽△ABC，
∴=，
即 =，
设EF=x，则AE=x．
∵OE⊥FE，FE⊥AB，
∴OE‖AD，
∴==，
即 =
∴OE=5-x．
过点O作OG⊥AB，则四边形OEFG为矩形．
①当EF=OE时，圆O与AB相切，
x=5-x，
解得：x=，
②当EF＜OE时，AB与圆O相交，
x＜5-x，
解得：x＜，
则0＜x＜；
③当EF＞OE时，AB与圆O相离，
x＞5-x，
解得：x＞，
故5≥x＞．
分析：（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AD，由等边对等角，得到∠A=∠OCE，还可证明∠A=∠OEC，由EF⊥AB，可得∠OEF=90°，从而得出EF是⊙O的切线．
（2）由△AEF∽△ABC，则 =，设EF=x，则AE=x，由OE⊥FE，FE⊥AB，可得出OE‖AD，即 ==，则求得OE，我们作圆心O到AB的垂线段，不难发现O到AB的距离=EF（矩形的对边相等），所以现在我们只需要判断EF和半径的大小关系就行了．①当EF=OE时，圆O与AB相切，②当EF＜OE时，AB与圆O相交，③当EF＞OE时，AB与圆O相离．
点评：此题考查了切线的判定和性质、直角三角形斜边的中线、勾股定理、直线和圆的位置关系，注意分类思想的使用．