Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点A(4,1)与正比例函数()的图象相交于点B(,3)，与轴相交于点C.

（1）求一次函数和正比例函数的表达式;

（2）若点D是点C关于轴的对称点，且过点D的直线DE∥AC交BO于E，求点E的坐标；

（3）在坐标轴上是否存在一点，使.若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）一次函数表达式为：；正比例函数的表达式为：；（2）E（－2，－3）；（3）P点坐标为（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.

【解析】

（1）将点A坐标代入可求出一次函数解析式，然后可求点B坐标，将点B坐标代入即可求出正比例函数的解析式；

（2）首先求出点D坐标，根据DE∥AC设直线DE解析式为：，代入点D坐标即可求出直线DE解析式，联立直线DE解析式和正比例函数解析式即可求出点E的坐标；

（3）首先求出△ABO的面积，然后分点P在x轴和点P在y轴两种情况讨论，设出点P坐标，根据列出方程求解即可.

解：（1）将点A(4，1)代入得，

解得：b=5，

∴一次函数解析式为：，

当y=3时，即，

解得：，

∴B(2，3)，

将B(2，3)代入得：，

解得：，

∴正比例函数的表达式为：；

（2）∵一次函数解析式为：，

∴C（0，5），

∴D（0，－5），

∵DE∥AC，

∴设直线DE解析式为：，

将点D代入得：，

∴直线DE解析式为：，

联立，解得：，

∴E（－2，－3）；

（3）设直线与x轴交于点F，

令y=0，解得：x=5，

∴F（5，0），

∵A（4，1），B（2，3），

∴，

当点P在x轴上时，设P点坐标为（m，0），

由题意得：，

解得：，

∴P点坐标为（，0）或（，0）；

当点P在y轴上时，设P点坐标为（0，n），

由题意得：，

解得：，

∴P点坐标为（0，2）或（0，－2），

综上所示：P点坐标为（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.