Question

2．阅读下列材料：
已知实数x，y满足（x²+y²+1）（x²+y²-1）=63，试求x²+y²的值．
解：设x²+y²=a，则原方程变为（a+1）（a-1）=63，整理得a²-1=63，a²=64，根据平方根意义可得a=±8，由于x²+y²≥0，所以可以求得x²+y²=8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y-3）=27，求x+y的值．
（2）填空：
①分解因式：（x²+4x+3）（x²+4x+5）+1=（x+2）⁴．
②已知关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x{+b}_{1}y{=c}_{1}}\\{{a}_{2}x{+b}_{2}y{=c}_{2}}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=5}\end{array}\right.$，关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}x}^{2}-{2a}_{1}x{+b}_{1}y{=c}_{1}{-a}_{1}}\\{{{a}_{2}x}^{2}-{2a}_{2}x{+b}_{2}y{=c}_{2}{-a}_{2}}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）设2x+2y=a，则原方程变为（a+3）（a-3）=27，解之求得a的值，继而可得x+y的值；
（2）①令a=x²+4x+3，原式变形为a（a+2）+1=（a+1）²，将a代入进一步根据完全平方公式分解可得；
②将原方程组变为$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（x-1）^{2}+{b}_{1}y={c}_{1}}&{\;}\\{{a}_{2}（x-1）^{2}+{b}_{2}y={c}_{2}}&{\;}\end{array}\right.$，由题意得出$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}=9}\\{y=5}\end{array}\right.$，即可得出答案．

解答 解：（1）设2x+2y=a，则原方程变为（a+3）（a-3）=27，
整理，得：a²-9=27，即a²=36，
解得：a=±6，
则2x+2y=±6，
∴x+y=±3；

（2）①令a=x²+4x+3，
则原式=a（a+2）+1
=a²+2a+1
=（a+1）²
=（x²+4x+4）²
=（x+2）⁴；
②由方程组$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{1}x}^{2}-{2a}_{1}x{+b}_{1}y{=c}_{1}{-a}_{1}}\\{{{a}_{2}x}^{2}-{2a}_{2}x{+b}_{2}y{=c}_{2}{-a}_{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{x}^{2}-2{a}_{1}x+{a}_{1}+{b}_{1}y={c}_{1}}\\{{a}_{2}{x}^{2}-2{a}_{2}x+{a}_{2}+{b}_{2}y={c}_{2}}\end{array}\right.$，
整理，得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（x-1）^{2}+{b}_{1}y={c}_{1}}&{\;}\\{{a}_{2}（x-1）^{2}+{b}_{2}y={c}_{2}}&{\;}\end{array}\right.$，
∵方程组$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}x{+b}_{1}y{=c}_{1}}\\{{a}_{2}x{+b}_{2}y{=c}_{2}}\end{array}\right.$的解是$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}=9}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴x-1=±3，且y=5，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
故答案为：（x+2）⁴，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查换元法解方程、方程组及因式分解，根据方程和代数式的特点设出合适的新元是解题的关键．