Question

15．如图1所示，△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的外部，且∠ABD是锐角，点E在射线AC的左侧，且∠ACE与∠ABD互补，BD=CE，DE与BC相交于点F．
（1）求证：DF=FE；
（2）若将“点D与△ABC的外部，点E在射线AC的左侧，BD=CE”改为D在△ABC的内部，点E在射线AC的右侧，BD=kCE，其他条件不变（如图2），猜想DF与FE的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过点E作EG∥BD交BC于点G，根据互补和三角形内角和得出∠CGE=∠BCE，再利用AAS证明△BDF与△GEF全等即可证明．
（2）结论：DF=k•EF，如图2中，作EG∥BD交BC的延长线于G．首先证明EC=EG，再证明△BDF∽△GEF，得$\frac{DF}{EF}$=$\frac{BD}{EG}$=$\frac{BD}{EC}$=k，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，过点E作EG∥BD交BC于点G，

∴∠BGE=∠DBC=∠ABD+∠ABC，
∴∠CGE+∠BGE=∠CGE+∠ABD+∠ABC=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACE与∠ABD互补，
∴∠ACE+∠ABD=∠ACB+∠BCE+∠ABD=∠ABC+∠BCE+∠ABD=180°，
∴∠CGE=∠BCE，
∴EG=EC，
∵BD=EC，
∴BD=EG，
在△BDF与△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠GFE}\\{∠DBC=∠BGE}\\{BD=EG}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△GEF（AAS），
∴DF=FE．

（2）解：结论：DF=k•EF，理由如下，
如图2中，作EG∥BD交BC的延长线于G．

∵∠ACE+∠ABD=180°，
∴∠ACG+∠GCE+∠ABC-∠DBC=180°，
∵∠DBC=∠G，∠ABC=∠ACB，∠ACB+∠ACG=180°，
∴180°+∠GCE-∠G=180°，
∴∠G=∠GCE，
∴EG=EC，
∵BD∥EG，
∴△BDF∽△GEF，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{BD}{EG}$=$\frac{BD}{EC}$=k，
∴DF=k•EF．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．