Question

如图，在?ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且四边形AECF也是平行四边形，
（1）求证：BE=DF．
（2）请写出所有的全等三角形（不用证明）

Answer 1

分析：（1）连接AC，交BD于点O，由四边形ABCD、AECF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可得OB=OD，OE=OF，继而求得BE=DF；
（2）由四边形ABCD、AECF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，AE=CF，AF=CE，又由（1）BE=DF，利用SSS，即可证得△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，△ABD≌△CDB，△ABF≌△CBE，△ADE≌△CBF，△AEF≌△CFE．

解答：（1）证明：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD、AECF是平行四边形，
∴OB=OD，OE=OF，
∴OB-OE=OD-OF，
即BE=DF；

（2）△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，△ABD≌△CDB，△ABF≌△CBE，△ADE≌△CBF，△AEF≌△CFE．
证明：∵四边形ABCD、AECF是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AE=CF，AF=CE，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD BE=DF AE=CF

，
∴△ABE≌△CFD（SSS），
同理：△ADF≌△CBE，
∵BE=DF，
∴BF=DE，
在△ABF和△CDE中，

AB=CD AF=CE BF=DE

，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
同理：△ADE≌△CBF，
在△ABD和△CDB中，

AB=CD BD=DB AD=CB

，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
同理：△AEF≌△CFE．

点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．