Question

如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，
(1)求证：BC=DE；
(2)连结AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加一个什么条件，为什么?
(3)在（2）的条件下，若要使四边形DBEA是正方形，则∠C=     ⁰.

Answer 1

（1）见解析；（2）添加AB=BC；（3）45

试题分析：（1）由已知先判定四边形DBEA是平行四边形即可证得结论；
（2）从矩形的判定着手，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断；
（3）由（1）中和（3）的已知条件先判定△BEC是等腰直角三角形，即可证得结论.
（1）∵E是AC的中点，
∴EC=AC，
又∵DB=AC，
∴DB=EC，
又∵DB∥AC，
∴四边形DBCA是平行四边形，
∴BC=DE；
（2）△ABC添加BA=BC，
同上可证四边形DBEA是平行四边形，
又∵BA=BC；BC=DE，
∴AB=DE，
∴四边形DBEA是矩形；
（3）∵四边形DBEA是正方形，
∴BE=AE，∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形，
又∵E是AC的中点，
∴AE=EC，
∴BE=EC，
又∵△BEC是直角三角形，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°．
点评：解答本题的关键是熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形.