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    如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动．当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．
    （1）t为何值时，点Q′恰好落在AB上？
    （2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
    （3）S能否为cm2？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．

    【答案】分析：（1）如图所示，连接QQ′，由题意得到三角形PQC为等腰直角三角形，可得出∠CPQ=45°，再由l与AC垂直，得到∠RPQ也为45°，进而由对称性得出PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，由平行得到一对同位角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△BQQ′∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解即可得到此时t的值；
    （2）由（1）求出t的值，分两种情况考虑：当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，由RP与BC平行，利用两直线平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△RPA∽△BCA，由相似得比例表示出RP，利用三角形的面积公式表示出S关于t的关系式即可；当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，由对称性得到由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，可得出三角形DEP为等腰直角三角形，得到DE=DP，由△RDE∽△BCA，利用相似得比例，表示出DR，再由△RPA∽△BCA，由相似得比例，表示出RP，由RP=RD+DP=RD+DE，将表示出的DR及RP代入，表示出DE，利用三角形的面积公式即可表示出S与t的关系式；
    （3）S能为cm2，具体求法为：当0＜t≤2.4时，令S=，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值；当2.4＜t≤6时，令S=，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值，经检验得到满足题意t的值．
    解答：解：（1）连接QQ′，

    ∵PC=QC，∠C=90°，
    ∴∠CPQ=45°，又l⊥AC，
    ∴∠RPQ=∠RPC-∠CPQ=90°-45°=45°，
    由对称可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，
    ∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，
    ∴△BQQ′∽△BCA，
    ∴==，即=，
    解得：t=2.4；

    （2）当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，

    又∵RP∥BC，
    ∴△RPA∽△BCA，
    ∴=，即=，
    ∴RP=（8-t）•=，
    ∴S=RP•Q′D=••t=-t2+3t；
    当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，

    由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，
    又∵∠PDE=90°，
    ∴△DEP为等腰直角三角形，
    ∴DP=DE，
    ∵△RDE∽△BCA，
    ∴===，即DR=DE，
    ∵△RPA∽△BCA，
    ∴=，即=，
    ∴RP=，
    ∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+DE=，即DE=，
    ∴DE=，
    ∴S=RP•DE=••=t2-t+；

    （3）S能为cm2，理由为：
    若t2-t+=（2.4＜t≤6），
    整理得：t2-16t+57=0，
    解得：t==8±，
    ∴t1=8+（舍去），t2=8-；
    若-t2+3t=（0＜t≤2.4），
    整理得：t2-8t+3=0，
    解得：t==4±，
    ∴t1=4+（舍去），t2=4-，
    综上，当S为cm2时，t的值为（8-）或（4-）秒．
    点评：考查了相似形综合题，此题涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，轴对称的性质，勾股定理，以及根的判别式，是一道较难的相似形综合题．
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