Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）求证：DF∥AB，DF=

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2

AB．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，得∠B=∠ACB，又有外角及角平分线的性质可得AN∥BC，再由垂直关系即可得出结论．
（2）由矩形的对角线相等且互相平分，得出∠FDC=∠FCD=∠B，即可DF∥AB，再由中位线定理可得DF=

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2

AB．

解答：证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠ACB，
又∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，
又AN平分∠MAC，
∴∠NAC=∠MAN=∠ACB，
∵∠MAN+∠CAN+∠BAD+∠CAD=180°，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=

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2

×180°=90°，
又CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；

（2）∵四边形ADCE为矩形，
∴∠FDC=∠FCD，
∴∠FDC=∠B，
∴DF∥AB，
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴在△ABC中，DF=

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2

AB．

点评：本题主要考查了平行线的判定及三角形外角的性质和角平分线的性质等，能够掌握并熟练运用．