Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）判断线段AC与AE是否相等，并说明理由；
（2）求过A、C、D三点的圆的直径．

Answer 1

分析：（1）AC=AE，理由为：由∠ACB=90°，根据90°圆周角所对的弦为直径得到AD为圆的直径，利用AD为角平分线，得到一对圆周角相等，利用等角对等弧，得到弧CD=弧DE，进而确定出弧AC=弧AE，利用等弧对等弦即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由AC与CB的长，利用勾股定理求出AB的长，再由AC=AE，由AB-AE求出EB的长，由一对直角相等，及一对公共角，得到三角形BDE与三角形ABC相似，由相似得比例求出ED的长，在直角三角形AED中，利用勾股定理求出AD的长，即为过A、C、D三点的圆的直径．

解答：解：（1）AC=AE，理由为：
∵∠ACB=90°，
∴AD为直径，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴

CD

=

DE

，
∴

AC

=

AE

，
∴在同一个⊙O中，AC=AE；                           

（2）∵在Rt△ABC中，AC=5，CB=12，
∴根据勾股定理得：AB=

AC2+CB2

=

52+122

=13，
∵AE=AC=5，
∴BE=AB-AE=13-5=8，
∵AD是直径，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBE，
∴

AC

DE

=

BC

BE

，
∴DE=

10

3

，
∴AD=

AE2+DE2

=

52+( 10 3 )2

=

5 13

3

，
∴△ACD外接圆的直径为

5 13

3

．

点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧及弦的关系，相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．