Question

已知：D是△ABC中BC边上的一点，AB=6cm，BC=4cm，BD=1.5cm，在AB边上是否存在点E，使由顶点B、D、E组成的三角形与△ABC相似？如果存在，求出BE的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：因为已知有一组公共角∠B，因此只要证明该角的两边对应成比例即可判定两三角形相似；此时应该注意分两种情况进行分析：分别是△BDE∽△BCA和△BED∽△BCA．根据对应边成比例求得BE的长，若BE的长小于AB的长，则其在AB上，否则不在．

解答：解：解法一：存在．
（1）假设AB边上存在点E，使△BDE∽△BCA，
所以有

BE

AB

=

BD

BC

因为AB=6cm，BC=4cm，BD=1.5cm，
所以BE=2.25cm；
因为2.25＜6，即BE＜BA，
即点E在BA上．

（2）除（1）外还存在点E，使△BED∽△BCA，
所以

BD

AB

=

BE

BC

，
因为AB=6cm，BC=4cm，BD=1.5cm，
所以BE=1cm，
因为1＜6，即BE＜BA，即点E在AB上．
所以AB边上存在点E，使由顶点B、D、E组成的三角形与△ABC相似，
DE的长为1cm或2.25cm．

解法二：存在
（1）过D作DE∥AC交AB于E，可得△BDE∽△BCA，求得BE=2.25（cm）；
因为2.25＜6，即BE＜BA，因此点E在AB上．

（2）以D为顶点作∠BDE=∠A，也可得△BED∽△BCA，求得BE=1（cm）；
因为1＜6，即BE＜BA，因此点E在AB上．
所以AB边上存在点E使由顶点B、D、E组成的三角形与△ABC相似，
DE的长为1cm或2.25cm．

点评：本题考查学生对相似三角形的判定的理解及运用，做题时注意分两种情况进行分析．