Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_____．

Answer 1

【答案】2或2

【解析】

根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图1，易得S△EFPS△BEPS△A'EP，即可得到EFBE=BF，PFA'P=A'F．从而可得四边形A'EPB是平行四边形，即可得到BP=A'E，从而可求出BP；②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP与H，如图2，同理可得GP=BG，EGEA'=1，根据三角形中位线定理可得AP=2=AC，此时点P与点C重合（BP=BC），从而可求出BP．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点，

∴AB=4，AEAB=2，BC=2．

①若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图1．

由折叠可得S△A'EP=S△AEP，A'E=AE=2．

∵点E是AB的中点，

∴S△BEP=S△AEPS△ABP．

由题可得S△EFPS△ABP，

∴S△EFPS△BEPS△AEPS△A'EP，

∴EFBE=BF，PFA'P=A'F，

∴四边形A'EPB是平行四边形，

∴BP=A'E=2；

②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP与H，如图2．

．

同理可得GPBP=BG，EGEA'2=1．

∵BE=AE，

∴EGAP=1，

∴AP=2=AC，

∴点P与点C重合，

∴BP=BC=2．

故答案为：2或2．