Question

【题目】在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．

（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；

（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AEAB＝DEAP；

（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）想办法证明AG=PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA=PF即可解决问题．
（2）证明△AEP∽△DEC，可得 ，由此即可解决问题．
（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．

（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，

∴∠BAE＝∠ADE，

∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，

∴∠AGP＝∠APG，

∴AP＝AG，

∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，

∴PA＝PF，

∴PF＝AG，

∵AE⊥BD，PF⊥BD，

∴PF∥AG，

∴四边形AGFP是平行四边形，

∵PA＝PF，

∴四边形AGFP是菱形．

（2）证明：如图②中，

∵AE⊥BD，PE⊥EC，

∴∠AED＝∠PEC＝90°，

∴∠AEP＝∠DEC，

∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，

∴∠EAP＝∠EDC，

∴△AEP∽△DEC，

∴，

∵AB＝CD，

∴AEAB＝DEAP；

（3）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，

∴BD＝，

∵AE⊥BD，

∴S△ABD＝BDAE＝ABAD，

∴AE＝

∴DE＝，

∵AEAB＝DEAP

∴AP＝．