Question

如图，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，F，E点．GE，CD的交点为M，且ME=4，MD：CO=2：5．
（1）求证：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直径CD的长；
（3）若cos∠B=0.6，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式．

Answer 1

（1）证明：连接DF，
∵CD是圆直径∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，∴∠GEF=∠A．

（2）解：∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC相似，
∴∴ME²=OM×MC，
又∵ME=∴OM×MC==96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，∴OM：MC=3：8，
设OM=3xMC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
直径CD=10x=20．

（3）解：∵Rt△ABC斜边AB的中线CD=20，
∴AB=40，
∵在Rt△ABC中，cos∠B=0.6=，∴BC=24，
∴AC=32，
设直线AB的函数表达式为y=kx+b根据题意得A（32，0）B（0，24），
b=24，0×k+b=24解得，32×k+b=0，
∴直线AB的函数解析式为y=-x+24．
分析：（1）连接DF，根据CD是圆直径，可知∠CFD=90°即DF⊥BC，DF∥AC，推出∠BDF=∠A，在⊙O中∠BDF=∠GEF，所以∠GEF=∠A；
（2）根据D是Rt△ABC斜边AB的中点，DC=DA，∠DCA=∠A，可证明△OME与△EMC相似，所以，ME²=OM×MC，结合MD：CO=2：5，OM：MD=3：2，OM：MC=3：8，设OM=3xMC=8x，可求x=2，则直径CD=10x=20；
（3）根据Rt△ABC斜边AB的中线CD=20可求得AB=40，cos∠B=0.6，BC=24，AC=32．设直线AB的函数表达式为y=kx+b把A（32，0）B（0，24）代入利用待定系数法求得，直线AB的函数解析式为y=-x+24．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．
解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．