Question

在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=6，且AD⊥BD，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE=CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当AE=______时，四边形DEBF是矩形；当AE=______时，四边形DEBF是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．

（2）解：当AE=3时，四边形DEBF是矩形；当AE=6时，四边形DEBF是菱形，
理由是：过D作DE⊥AB于E，
则∠ADE=30°，
∴AE=AB=3，
即当AE=3时，∠DEB=∠DEA=90°，
即平行四边形BEDF是矩形；
∵AD=AE=6，∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=6，
∵AD⊥BD，AD=6，∠A=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AB=2AD=12，
∴BE=12-6=6=DE，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形，
即当AE=3时，四边形DEBF是矩形；当AE=6时，四边形DEBF是菱形，
故答案为：3，6．
分析：（1）根据平行四边形性质求出AB∥CD，AB=CD，求出BE=DF，BE∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，求出AE=3，根据矩形的判定推出即可；求出等边三角形ADE，求出DE=AD=6，求出AB=12，求出BE=DE=6，根据菱形的判定推出即可．
点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．