Question

【题目】综合探究

已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(8，0)（2）存在点P(4，6)，使得四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为(4，6)，四边形PBOC面积的最大值为32（3）点M的坐标为(2，6)、(6，4)、(4﹣2，﹣1)或(4+2，﹣﹣1)

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴方程，即可得到a的值，从而得到函数解析式，进而求出A，B的值；

（2）根据待定系数法，求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为(x，﹣x+4)，进而求出PD的值，根据S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC，得到二次函数解析式，即可得到答案；

（3）设点M的坐标为(m，﹣m2+m+4)，则点N的坐标为(m，﹣m+4)，则MN=|﹣m2+2m |，根据MN=3，列出关于m的方程，即可求解．

（1）∵ 抛物线的对称轴是：直线x＝3，

∴ ＝3，解得：a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．

当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，

∴点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(8，0)；

（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4，

∴点C的坐标为(0，4)．

设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），

将B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx+b得：，解得：，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．

假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，

设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），如图1，

过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为(x，﹣x+4)，

∴PD＝﹣x2+x+4﹣(﹣x+4)＝﹣x2+2x，

∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC＝×8×4+PDOB

＝16+×8(﹣x2+2x)＝﹣x2+8x+16

＝﹣（x﹣4）2+32

∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32．

∵0＜x＜8，

∴存在点P(4，6)，使得四边形PBOC的面积最大，四边形PBOC面积的最大值为32．

（3）设点M的坐标为(m，﹣m2+m+4)，则点N的坐标为(m，﹣m+4)，如图2，

∴MN＝|﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)|＝|﹣m2+2m |，

又∵ MN＝3，

∴ |﹣m2+2m |＝3，

当0＜m＜8时，﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，

∴点M的坐标为(2，6)或(6，4)；

当m＜0或m＞8时，﹣m2+2m +3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，

∴点M的坐标为(4﹣2，﹣1)或(4+2，﹣﹣1)．

答：点M的坐标为(2，6）、(6，4）、(4﹣2，﹣1）或(4+2，﹣﹣1）．