Question

【题目】已知矩形中，，，点是边上一点，，连接.

（1）沿翻折使点落在点处，

①连接，若，求的值；

②连接，若，求的取值范围.

（2）绕点顺时针旋转得，点落在边上时旋转停止. 若点落在矩形对角线上，且点到的距离小于时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①2;②;（2）.

【解析】

（1）①由CF∥AE可得内错角和同位角相等，由翻折有对应角相等，等量代换后出现等腰三角形，即可求出m值；②过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H，根据相似三角形的对应边成比例求翻折后AG和FG的长度，再根据勾股定理列出DF2与m的二次函数关系根据抛物线的性质求出自变量m的范围；

（2）过点B1作MN⊥AD于点M,交BC于点N，由△AMB1∽△CBA得出对应边成比例列出比例式，用含m的式子表示B1M,根据题意求出m的范围，再根据当E1落在AD上时，此时m最大，根据△AB1E1∽△ABE求出m的最大值，从而确定m的取值范围.

解：（1）①如图，

∵CF∥AE,

∴∠FCE=∠AEB, ∠CFE=∠AEF,

∵△ABE翻折得到△AFE,

∴EF=EB=1，∠AEF=∠AEB,

∴∠ECF=∠EFC,

∴CE=EF=1，

∴m=BC=BE+CE=2.

②如图，过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H，

∴∠AGH=∠GHB=∠B=90°,

∴四边形AGHB是矩形,

∴AG=BH,GH=AB=2，

由折叠可知，∠B=∠AFE=90°,BE=FE=1，AF=AB=2，

∵∠GAF+∠AFG=90°, ∠AFG+∠EFH=90°,

∴∠GAF=∠EFH,

∴△AGF∽△HFE,

∴ ,

设AG=a,GF=b,则有，

，

解得:a= ,b= ,

∵AD=BC=m,

∴DG== ，

∴DF2=DG2+FG2== ，

∴DF2与m成二次函数关系，且抛物线开口向上，当m=时，DF2有最小值为 ，

∵，

∴，

当时，

解得m1=1,m2=，

∴由二次函数图象的性质可得， .

（2）如图，过点B1作MN⊥AD于点M,交BC于点N,

∴∠AMB1=∠B=90°，

∵AD∥BC，

∴∠MAB1=∠ACB，

∴△AMB1∽△CBA，

∴ ，

由翻折可知AB1=AB=2，

∴，

∴B1M= ，

∵点B1到的距离小于，

∴<,解得m>.

如图，当点E1落在边AD上时，且点B1在AC上时，m最大，

∵∠AB1E1=∠ABC, ∠E1AB=∠ACB，

∴△AB1E1∽△ABE，

∴ ,即，

∴m=4，

∴m的取值范围是 .