Question

（1）比较下列算式结果的大小：
3²+4²

＞

2×3×4；   （-1）²+2²

＞

2×（-1）×2；   4²+4²

=

2×4×4；    
(

1

2

)2+(

2

3

)2

＞

2×

1

2

×

2

3

；
（2）观察以上各式所反映的规律，用一个含字母a，b的式子表示出来

a²+b²≥2ab

；
（3）若x≠0，求x2+

1

x2

的最小值；
（4）若x是正数，则x+

1

x

的最小值为

2

．

Answer 1

分析：（1）首先进行计算，即可进行比较；
（2）根据（1）可得两个数的平方和一定不小于这两个数的乘积，据此即可解答；
（3）根据（2）即可直接求解；
（4）根据（2）即可直接求解．

解答：解：（1）∵3²+4²=25，2×3×4=24，
∴3²+4²＞2×3×4；
∵（-1）²+2²=5，2×（-1）×2=-4，
∴（-1）²+2²＞2×（-1）×2；
∵4²+4²=2×4²=2×4×4，
∴4²+4²=2×4×4；
∵（

1

2

）²+（

2

3

）²=

1

4

+

4

9

=

25

36

，2×

1

2

×

2

3

=

2

3

，
∴（

1

2

）²+（

2

3

）²＞2×

1

2

×

2

3

；

（2）a²+b²≥2ab；

（3）∵x2+

1

x2

≥2•x•

1

x

，
∴x2+

1

x2

≥2，即x2+

1

x2

得最小值为2．

（4）x+

1

x

≥2

x

•

1 x

≥2．
故答案为：＞，＞，=＞；a²+b²≥2ab；2．

点评：本题考查了有理数的运算，根据（1）的式子得到两个数的平方和一定不小于这两个数的乘积是关键．