Question

【题目】如图，在中，. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，是边上的一动点，连接交于点，连接.

（1）求证：；

（2）点在边上，且，连接交于点.

①判断与的位置关系，并证明你的结论；②连接，若，请直接写出线段长度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①,见解析；②，见解析.

【解析】

（1）根据旋转的性质易得：AB=AD，∠BAF=∠DAF，结合AF=AF可证即可得出结论；

（2）①在上取，连接交于点，延长交于点，易证四边形是正方形；通过证明得，由知，易证.再证明即可；

②根据当点运动过程中，始终成立，点的轨迹在以为直径的圆上求解即可.

（1）证明：∵

∴

∵

∴

在和中，

,

∴ （）

∴；

（2）①证明：在上取，连接交于点，延长交于点

由（1）得∠DAC=∠DCA，AD=AB=BC，

∵，

∴四边形是平行四边形

∵

∴四边形是正方形

∵ BH=CE，AB=DC，

∴ （）

∴

∵ （）

∴

∴

即

∵在中，

∴

∴

即

②

理由：由第二问可知，当点运动过程中， 始终成立，点的轨迹在以为直径的圆上，与圆的交点即为最小值.