Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点（不与点A、C重合）．过点P且垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．若AC=2，BD=1，设AP=x，MN=y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：△AMN的面积=AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；
解答：解：（1）当0＜x≤1时，如图，
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，
∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴=，
即，=，MN=x；
∴y=AP×MN=x²（0＜x≤1），
∵＞0，
∴函数图象开口向上；

（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，=，
即=，MN=2-x；
∴y=AP×MN=x×（2-x），
y=-x²+x；
∵-＜0，
∴函数图象开口向下；
综上答案A的图象大致符合．
故选：A．
点评：本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．