Question

【题目】如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，直线经过点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点是直线上方抛物线上的一动点，求面积的最大值并求出此时点的坐标；

（3）过点的直线交直线于点，连接当直线与直线的一个夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，有最大值，最大值为，点坐标为；（3）点的坐标或.

【解析】

（1）利用点B的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；

（2）如图1，过点P作轴，交BC于点H，设，H ，求出的面积即可求解；

（3）如图2，作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于，交AC于E，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，再确定N（3，2），AC的解析式为y＝5x5，E点坐标为，利用两直线垂直的问题可设直线的解析式为，把E代入求出b，得到直线的解析式为 ，则解方程组 得点的坐标；作点关于N点的对称点，利用对称性得到，设，根据中点坐标公式得到，然后求出x即可得到的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

（1）把代入得

；

（2）过点P作轴，交BC于点H，

设，则点H的坐标为 ，

∴ ，

∴，

∴当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为.

（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于，交AC于E，

∵，
∴，
∴，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴，
∴N（3，2），
由 可得AC的解析式为y＝5x5，E点坐标为，
设直线的解析式为，把E代入得 ，解得，
∴直线的解析式为，
解方程组得 ，则；
如图2，在直线BC上作点关于N点的对称点，则，

设，
∵，
∴，
∴，
综上所述，点M的坐标为或.