Question

【题目】如图,平面直角坐标系xoy中,抛物线y=a(x+1)(x-9)经过A,B两点,四边形OABC

矩形,已知点A坐标为(0,6)。

(1) 求抛物线解析式；

(2) 点E在线段AC上移动(不与C重合),过点E作EF⊥BE,交x轴于点F.请判断的值是否变化；若不变,求出它的值；若变化，请说明理由。

（3）在(2)的条件下,若E在直线AC上移动,当点E关于直线BF的对称点在抛物线对称轴上时,请求出BE的长度。

Answer 1

【答案】（1） （2）不变 （3）

【解析】分析(1) 将代入即可求解;(2)由△BDE∽△EGF，得出，由点A的坐标及对称轴直线x=4推出点B坐标，从而求解;(3) 过点E′作PQ∥x,易证△FPE′∽△BQE′，得出FP=3，利用CQ=3, BQ=9，求出BE即可得出结果.

（1）将代入，得：

∴抛物线解析式为

（2）的值不变.

如图，过点E作DG⊥AB交AB于点D，交轴于点G

∵四边形OABC为矩形, ∴DG⊥OC , BD=GC

由BE⊥EF, 易证△BDE∽△EGF, 得：, 即.

由，抛物线对称轴为直线，得, 即OC=6.

易知， ∴.

（3）如图，过点E′作PQ∥x，FP⊥PQ, CQ⊥PQ.

易证△FPE′∽△BQE′.

可知QE′=4, ∴FP=3. 则CQ=3, BQ=9

∴BE=BE′=.