Question

【题目】如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且．

（1）求证：是⊙O的切线．

（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析．

【解析】

(1)连接OC，∠CAD=∠D=30°，由OC=OA，进而得到∠OCA=∠CAD=30°，由三角形外角定理得到∠COD=∠A+∠OCA=60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD=90°即可证明；

(2)证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE=CG，CF=CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．

解：(1)连接OC，如下图所示：

∵CA=CD，且∠D=30°，

∴ ∠CAD=∠D=30°，

∵ OA=OC，

∴ ∠CAD=∠ACO=30°，

∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°，

∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°，

∴ OC⊥CD，

∴ CD是⊙O的切线．

(2)连接BC，如下图所示：

∵∠COB=60°，且OC=OB，

∴△OCB为等边三角形，∠CBG=60°，

又CG⊥AD，∴∠CGB=90°，

∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°，

又∠GCD=60°，

∴CB是∠GCD的角平分线，且BF⊥CD，BG⊥CG，

∴BF=BG，

又BC=BC，

∴△BCG≌△BCF，

∴CF=CG.

∵∠D=30°，AE⊥ED，∠E=90°，

∴∠EAD=60°，

又∠CAD=30°，

∴AC是∠EAG的角平分线，且CE⊥AE，CG⊥AB

∴CE=CG，

∵∠E=∠BFC=90°，∠EAC=30°=∠BCF，

∴△AEC∽△CFB，

∴，即，

又，

∴．